ว่าด้วย คณิต(สาดด) กับคอมพิวเตอร์ (ภาค 2)

ขออภัยท่านผู้อ่านนะครับ ที่หายไปนานน แต่ก็กลับมาเขียนอีกจนได้ ความจริงแล้วเรื่องคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานสำคัญจริงๆ เพราะเป็นส่วนหนึ่งในการปูพื้นฐานทางคอมพิวเตอร์ ไม่ว่าจะเป็นด้านความคิดอย่างมีเหตุผล(ตรรกะ) หรือการคำนวนตามแบบที่คณิตศาสตร์มีอยู่ จากบทความส่วนแรก ผมเกริ่นๆ เกี่ยวกับเรื่อง จำนวน และ ฐาน ซึ่งคงไม่ยากเท่าไหร่ สำหรับบทความนี้ก็จะมีหัวข้อเพิ่มเติมดังนี้

การกระทำทางคณิตศาสตร์
สำหรับ การกระทำทางคณิตศาสตร์ ก็ต้องมีเครื่องหมายแสดงการกระทำ(ภาษาอังกฤษเรียก Operator) เราต้องมีตัวตั้ง และตัวกระทำอีกด้วย (ภาษาอังกฤษเรียก Operand ทั้งคู่นะครับ) เครื่องหมายแสดงการกระทำนั้นไม่ใช่อะไรแปลกใหม่สำหรับท่านผู้อ่านแม้แต่นิดเดียว (เพราะใช้กันอยู่ทุกวัน) นั่นก็คือ เครื่องหมาย¹ + – * / ซึ่งเขียนใช้แทนการบวก ลบ คูณ และหาร ตามลำดับ

• การบวก คงจะไม่ต้องให้รายละเอียดเพิ่มเติมอะไรอีกสำหรับเลขฐาน 10 แต่ในเลขฐาน n ใดๆนั้น กระบวนการบวกนั้นจะสิ้นสุดแค่ n – 1 (นั่นหมายความว่าแต่ละหลักจะมีค่าเกิน n – 1 ไม่ได้) โดยใช้ขั้นตอนวิธีดังต่อไปนี้

1. สมมุติให้ตัวตั้ง และตัวกระทำมี m หลัก (ถ้าไม่เท่ากันให้ใส่ 0 ข้างหน้าตัวที่มีหลักน้อยกว่า) โดย 1 กำกับหลักทางขวาสุด จนถึง m กำกับหลักทางซ้ายสุด
2. นำหลักที่ m ของตัวตั้งมาบวกกับตัวกระทำ (ในที่นี้จะใช้การคิดแบบฐาน 10) ถ้ามีทดให้บวกตัวทดด้วย ถ้าผลลัพธ์มีค่าน้อยกว่า n นั่นคือคำตอบของหลักที่ m แต่ถ้าผลลัพธ์มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ n แล้ว ให้นำผลลัพธ์ดังกล่าวไปลบ n ผลที่ได้คือคำตอบในหลักที่ m และทด 1 ในหลัก ที่ m – 1
   
3. ลดค่า m ลง 1 และทำซ้ำขั้นตอนทั้งหมดจนกระทั้ง m = 0

• การลบ ก็คงจะไม่ต้องให้รายละเอียดเพิ่มอีกเช่นกัน (แล้วจะเขียนทำไมเนี่ยย +*+) ในฐาน 10 แต่ในการลบในทางคอมพิวเตอร์แล้ว จะเป็นการบวก(ของเลขฐานสอง) ซึ่งใช้วิธีดังนี้

1. ให้แปลงตัวตั้งและตัวกระทำเป็นเลขฐานสอง
2. แปลงตัวกระทำโดยใช้หลัก 2’s complement โดย
1. เปลี่ยนบิท² ของตัวกระทำให้กลับกันทั้งหมด (เปลี่ยนจาก 0 เป็น 1 และเปลี่ยนจาก 1 เป็น 0)
   
2. บวกผลลัพท์ดังกล่าวด้วย 1
3. นำตัวตั้งและ 2’s complement ของตัวกระทำมาบวกกัน (โดยใช้ขั้นตอนการบวกข้างต้น)
4. ผลลัพธ์ที่ได้จะมีตัวทดข้างหน้าหลัก (ฉะนั้น หลักทั้งหมดจะมี m + 1 หลัก) ให้ตัดตัวแรกออก³
   
5. แปลงผลลัพธ์กลับไปเป็นฐาน n ใดๆ

หากจะเขียนโดยไม่แสดงตัวอย่างให้ดู ผู้อ่านคงจะไม่ค่อยเข้าใจเป็นแน่ ดังนั้นผมจะเขียนตัวอย่างให้ดูในคราวหน้านะครับ

---

อ้างอิง :

• รำพรรณ จันทวีวัฒน์, ผู้ช่วยศาสตราจารย์. คณิตศาสตร์สำหรับคอมพิวเตอร์. กรุงเทพฯ. โอเดียนสโตร์. พิมพ์ครั้งที่ 1 ปี 2543
• Stephen Brown; Zvonko Vranesic. Fundamentals of Digital Logic With VHDL Design. Singapore. McGraw-Hill : 2000
  

---

[1] อันเนื่องมาจากข้อจำกัดทางการแสดงผลในคอมพิวเตอร์จึงไม่สามารถแสดงรูปของเครื่องหมายทั้งหมดได้ แต่คิดว่าผู้อ่านคงจะทราบดีว่าเครื่องหมายแทนการคูณ และการหาร สามารถเขียนได้เป็นรูปอื่นอีก
[2] เราเรียกแต่ละหลักของเลขฐานสองว่า บิท – bit
[3]ขออภัยท่านผู้อ่านด้วย เนื่องจากผมเขียนขั้นตอนขาดไปในส่วนนี้จึงต้องขอแก้ไข